数列可看作自然数集上的函数,是一类特殊的函数.与实数集上的函数相比, 数列更简单、更直观. 接受并理解数列极限的定义有助于我们深入认识实数集上的函数在无穷远处或在一点处的极限,而实数集上的函数在一点处的极限是本课程的基石.另一方面,数列极限的定义是级数理论的基础.

数列极限在日常生活中有重要的应用.例如,在银行存款业务中,用复利计息就与数列极限有着密切的联系.

复利计息就是利息以一定周期不断转化为本金的过程,俗称利滚利.假设某客户在银行存了1万元(本金),年复利率为,我们考虑其一年后的本利和.

若计息周期为一年,则一年后本利和为万元；

若计息周期为六个月,则一年后本利和为万元；

若计息周期为一个月,则一年后本利和为万元.

若计息周期为一天呢? 为一小时呢?

一般地,若计息周期为年,则一年后的本利和为元.这样, 就得到无穷数列,其中.对于不同的n,,的取值见下表：

由上述列表我们猜测,数列可能是单调递增的，且当无限增大时，无限接近于某一确定的数值,这一确定的数大约为.事实上,这一确定的数确实存在,但不是,更多细节见后面章节.这一确定的数就是数列的极限.下面,我们给出数列极限的直观描述.

对于数列和给定的数,若当无限增大时无限趋近于,则称为数列的极限,也称数列收敛于.

在数列极限的直观描述中,“无限增大时”和“无限趋近于”是什么含义呢? 这样的文字描述无法用于严谨的数学证明或逻辑推理，不利于相关理论的发展.那么,数列极限的严格数学定义是什么呢?

对于数列和给定的数a,若当n无限增大时无限趋近于,则称a为数列的极限.在该直观定义中,“n无限增大时”和“无限趋近于a”是主观的、感性的认识,如何用严谨的数学语言刻画呢？

在数学中,我们通常用两数差的绝对值衡量两数的接近程度.如比更接近于1,这是因为.从而,我们可以用的大小衡量与a的接近程度.